ESTANDAR
Resuelvo y formulo cuya solución requiera de la potenciación y radicación.
COMPONENTE
Numérico
INDICADOR DE DESEMPEÑO
De Conocimiento
Doy razón de las propiedades de los números naturales y enteros, de los algoritmos de las operaciones básicas en estos conjuntos numéricos y de las medidas básicas de figuras geométricas.
De Desempeño
Aplico las operaciones y propiedades de los números naturales y enteros, y mido características básicas de figuras geométricas en la solución de problemas
METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA
- Unidad didáctica
Unidad No.1: Números naturales.
1. Sistema de numeración.
2. Operaciones básicas con los números naturales.
3. Problemas con operaciones básicas con los números naturales.
- Propósito
Adquirir habilidades y destrezas matemáticas en las operaciones con números naturales.
- Desarrollo cognitivo instruccional
ETAPA MOTIVACIONAL
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NATURALES
La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
Cuando se multiplica un número natural por sí mismo, por ejemplo, hay otra manera de expresar ese producto:
Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".
La costumbre de decir "3 al cuadrado" es muy antigua, y la razón por la cual se dice así, tiene que ver con la geometría.
Si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades, su área es.
El área de cualquier cuadrado es igual al lado multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la medida de su lado.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
La potenciación tiene unas propiedades muy importantes que se estudiarán a continuación.
Propiedad 1
Si se multiplican dos potencias con igual base, como, por ejemplo:
se está realizando lo siguiente:
Como el producto es asociativo, esto se puede expresar así:
y esto es igual a Por eso, se puede decir que
Propiedad 2
La segunda propiedad se refiere a la potencia de una potencia, es decir, la operación de elevar un número a una potencia, y el resultado se eleva a otra potencia, por ejemplo:
Propiedad 3
Al realizar el siguiente producto, elevado a una potencia:
Se tiene que la última igualdad es cierta porque el producto es conmutativo y asociativo, y finalmente
De manera que se tiene:
Propiedad 4
La propiedad que sigue ahora es muy sencilla, pero muy importante: Todo número elevado al exponente 0 es igual a a 1.
RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.
Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo , al cual se llama raíz.
En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo
Ejemplos
Veamos que sucede cuando el radicando es un número negativo:
Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.
Por ejemplo, en la expresión se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2
Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, significa y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.
Por ejemplo:
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional. Ejemplo de un radical en forma de potencia.
• Es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.
Veamos un ejemplo:
En la división,
En la multiplicación,
No es distributiva con respecto a la suma y a la resta.
Ejemplos: En la suma,
En la resta
Si el índice es par entonces el radicado tiene que ser positivo y la raíz entonces dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel utilizamos el resultado positivo.
Ejemplos,
Si el índice es impar entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando,
Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
- Desarrollo Metodológico
- Con ayuda de tus padres realiza las siguientes actividades, teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación.
- Halla las siguientes raíces
- En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión
- Reduce cada caso
- Comprueba cuáles de estas raíces cuadradas son correctas. (Considera correctas las raíces que son exactas o enteras por defecto)
a) √225 = 15 b) √255 = 16 c) √37 = 7 d) √18 = 4
e) √30 = 5 f) √1000 = 100 g) √92 = 8 h) √20 = 5
i) √40 = 7 j) √40.000 = 200 k) √50 = 7 l) √60 = 8
